Question

如图，已知平行四边形ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。 （1）

如图，已知平行四边形ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。 （1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由

Answer 1

解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形 所以AD=BC，AB∥DC 所以∠BAE=∠DEA 因为AE平分∠BAD 所以∠BAE=∠DAE 所以∠DEA=∠DAE 所以AD=DE 所以DE=BC； （2） AB=DG+FC 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC 所以∠ABC+∠C=180° 把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则 ∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC 因为∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180° 所以F，B，H三点共线 所以BF+HB=BF+FC 从而FH=BC=AD=DF=AH 所以四边形AHFD为正方形 所以∠ADF=90°，AH∥DF 把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90° 所以∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180° 所以I，H，B三点共线 因为AE平分∠BAD， 所以∠BAG=∠DAG 所以∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI 即∠HAG=∠IAB 因为AH∥DF， 所以∠HAG=∠DGA 所以∠BIA=∠DGA=∠BAI 所以AB=IB 因为IB=IH+HB=DG+FC 所以AB=DG+FC。