Question

已知函数 f(x)=a- 1 2 x +1 ．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的

已知函数 f(x)=a- 1 2 x +1 ．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）的定义域为R，设x 1 ＜x 2 ， 则 f( x 1 )-f( x 2 )=a- 1 2 x 1 +1 -a+ 1 2 x 2 +1 = 2 x 1 - 2 x 2 (1+ 2 x 1 )(1+ 2 x 2 ) ， ∵x 1 ＜x 2 ，∴ 2 x 1 - 2 x 2 ＜0，(1+ 2 x 1 )(1+ 2 x 2 )＞0 ，∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0， 即f（x 1 ）＜f（x 2 ），所以不论a为何实数f（x）总为增函数． （2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即 a- 1 2 -x +1 =-a+ 1 2 x +1 ， 解得： a= 1 2 ．∴ f(x)= 1 2 - 1 2 x +1 ． （3）由（2）知 f(x)= 1 2 - 1 2 x +1 （4），∵2 x +1＞1（5），∴ 0＜ 1 2 x +1 ＜1 （6），∴ -1＜- 1 2 x +1 ＜0 ，∴ - 1 2 ＜f(x)＜ 1 2 所以f（x）的值域为 (- 1 2 ， 1 2 ) ．