Question

已知f(x)=sin2x-2sin2x1-tanx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的最值；（

已知f(x)=sin2x-2sin2x1-tanx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的最值；（Ⅲ）当cos(π4+x)=35时，求f（x）的值．

Answer 1

（Ⅰ）由1-tanx≠0得x≠kπ+

π

4

(k∈Z)．又x≠kπ+

π

2

(k∈Z)
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+

π

4

，x≠kπ+

π

2

(k∈Z)}．
∵f(x)=

sin2x-2sin2x

1-tanx

=

cosx?2sinx(cosx-sinx)

cosx-sinx

=sin2x，
∴f（x）的最小正周期为π
（Ⅱ）∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+

π

4

，x≠kπ+

π

2

(k∈Z)}
∴2x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，
∴函数f（x）无最大值．
∴当x=kπ-

π

4

(k∈Z)时，函数f（x）最小值为-1
（Ⅲ）∵cos(

π

4

+x)=

3

5

∴f(x)=sin2x=-cos(2x+

π

2

)=-2cos2(x+

π

4

)+1=-2×

9

25

+1=

7

25

．