Question

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程ax2+bx-c=0为“△ABC的☆方

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程ax2+bx-c=0为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：（1）“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0的根的情况是______（填序号）：①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根；（2）如图，AD为⊙O的直径，BC为弦，BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0的解；（3）若x=14c是“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0的一个根，其中a，b，c均为整数，且ac-4b＜0，求方程的另一个根．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，关于x的一元二次方程ax²+bx-c=0为“△ABC的☆方程”，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴△=b²+4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：②；

（2）∵AD为⊙O的直径，
∴∠DBA=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠CBA=60°，
∵BC⊥AD于E，∠DBC=30°，
∴∠BDA=60°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴“△ABC的☆方程”ax²+bx-c=0可以变为：ax²+ax-a=0，
∵△=b²+4ac＞0，
∴x=

-a± a2+4a2

2a

=

-1± 5

2

，
即x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

；

（3）将x=

1

4

c代入☆方程中可得：

ac2

16

+

bc

4

-c=0，
方程两边同除以c可得：

ac

16

+

b

4

-1=0，
化简可得：ac+4b-16=0，
结合ac-4b＜0，可得出0＜ac＜8，
由ac+4b=16，可知ac需能被4整除，又0＜ac＜8；
∴ac=4，从而b=3，
又因为a，c为正整数，则a=1，c=4（不能构成三角形，舍去）或者a=c=2，
所以☆方程为2x²+3x-2=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=-2．