Question

如图①，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的同侧作等边△ADC和△CBE，（1）你能证明AE与BD

如图①，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的同侧作等边△ADC和△CBE，（1）你能证明AE与BD相等吗？为什么？（2）如图②，当等边△CBE绕点C旋转后，上述结论是否仍成立？为什么？（3）在图①中，连CK，试证明：KC平分∠AKB．

Answer 1

解：（1）AE=BD，理由为：
∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC＝DC ∠ACE＝∠DCB EC＝BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）结论仍然成立，即AE=BD，理由为：
∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC＝DC ∠ACE＝∠DCB EC＝BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（3）连接CK，过C作CG⊥AE，CH⊥BD，
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB，即

1

2

AE?CG=

1

2

BD?CH，
∵AE=BD，
∴CG=CH，
∴KC平分∠AKB．