Question

已知曲线C的参数方程为x＝3+3cosθy＝3sinθ（θ是参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标

已知曲线C的参数方程为x＝3+3cosθy＝3sinθ（θ是参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），曲线C与直线l相交于点A、B．（Ⅰ） 将曲线C的方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ） 求弦AB的长．

Answer 1

（Ⅰ）由

x＝3+3cosθ y＝3sinθ

可得：

x?3＝3cosθ y＝3sinθ

，
把 ①²+②²得到原参数方程的普通方程：（x-3）²+y²=9，
直线l的极坐标方程为θ＝

π

4

(ρ∈R)，
由互化公式tanθ＝

y

x

，即

y

x

＝1，
则直线l的直角坐标方程是：x-y=0．
（Ⅱ） 直线l的参数方程为：

x＝ 2 2 t y＝ 2 2 t

（t为参数），
把它代入方程（x-3）²+y²=9中，
即(

2

2

t?3)2+(

2

2

t)2＝9?t2?3

2

t＝0，
设点A、B对应的参数值分别为t₁，t₂，由参数t的几何意义可得，
弦AB的长为：|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2?4t1t2

＝

18?0

＝3

2

．
故答案为：（Ⅰ）（x-3）²+y²=9和x-y=0，
（Ⅱ）AB＝3

2

．