Question

求解一道线代题，关于矩阵的乘法和秩

这题的第二问不会啊，答案给的我看不懂，觉得可能不是对的，得到的结论是：ab=1且B中有且只有两个列向量线性无关。
求大神教我。
那么利用分块乘法可得r(AB)=1 <=> x+2y和y+bz线性相关

这是怎么得到的？

Answer 1

结论肯定是错的
ab=1<=>r(A)=2，这确实是一个必要条件
但是“B中有且只有两个列向量线性无关”是一句含糊不清的话，两种比较可能的解释是
1. B的列的极大无关组由两个向量构成
2. B恰有两列非零，并且这两列线性无关
第一种解释和r(B)=2没有区别，并且r(A)=r(B)=2不足以推出r(AB)=1
第二种解释显然不成立，因为对B做列变换不影响结果

首先，r(A)=2是必要的，然后由Sylvester不等式可得r(AB)>=1，所以r(AB)只能取1或2
对A做行变换不影响结果，所以可以取A的行的线性无关组[1,2,0]和[0,1,b]出来
假定B的行向量是x,y,z，那么利用分块乘法可得r(AB)=1 <=> x+2y和y+bz线性相关
到此为止了吧，上述思想方法能掌握就行了，我不觉得这题会有什么形式上简单的条件

追问

这里有个不妨假设B也是3阶矩阵，我觉得没理由啊。要对B分块也是按行分块才对啊。不好意思，现在才回复，这几天放假在家少不得要串门，耽误几天。

追答

B按列分块是可以的，因为B=[b1,...,bk] => AB=[Ab1,...,Abk]
不妨设B是3x3的也没问题，甚至可以假设B是3x2的
但问题在于这个“不妨设”需要对B做列变换（不然B的任何一列都可以不是Ax=0的解），在基于一定的列变换的假设下得到图里的结论那就是胡说八道了

这种教辅书最好扔掉，找本好一点的教材认真看才是正道