Question

已知等边△ABC中，P为直线BC上一点，连接PA，以PA为一边作∠APE=60°，另一边交∠ACB外角平分线于点E，过

已知等边△ABC中，P为直线BC上一点，连接PA，以PA为一边作∠APE=60°，另一边交∠ACB外角平分线于点E，过点E作EH⊥BC的延长线于H，求证：PC+2CH=AB．

Answer 1

如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=∠B=60°．
∴∠ACH=120°，
∵∠APC=∠1+∠B=∠2+∠APE，∠B=∠APE=60°，
∴∠1=∠2．
∵CE平分∠ACH，∴∠4=∠5=60°．
∵∠APE=∠4=60°，
∴A、P、C、E四点共圆．
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABP和△ACE中，

∠1＝∠3 AB＝AC ∠B＝∠4＝60°

．
∴△ABP≌△ACE．
∴BP=CE．
在Rt△CHE中，
∵cos∠5=

CH

CE

=cos60°=

1

2

，
∴CE=2CH．
∴AB=BC=PC+BP=PC+CE=PC+2CH．