Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ） 当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ） 当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ） 讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．

Answer 1

（Ⅰ） 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+ 1 x = 1-x x …（1分） 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分） ∴f（x） max =f（1）=-1…（4分） （Ⅱ）∵f′（x）=a+ 1 x ，x∈（0，e）， 1 x ∈ ( 1 e ，+∞) …（5分） ①若a≥ - 1 e ，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分） ②若a＜ - 1 e ，则由f′（x）＞0 ?a+ 1 x ＞0，即0＜x＜ - 1 a 由f′（x）＜0 ?a+ 1 x ＜0，即 - 1 a ＜x＜e．…（7分） ∴f（x）在 (0，- 1 a ) 上增函数，在 (- 1 a ，e) 为减函数…（8分） 综合上面得：当a≥ - 1 e 时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜ - 1 e 时，f（x）在 (0，- 1 a ) 上增函数，在 (- 1 a ，e) 为减函数． （Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|= lnx x + 1 2 …（9分） 由（Ⅰ）知当a=-1时f（x） max =f（1）=-1，即-x+lnx≤-1 ∴|x-lnx|≥1…（10分） 又令g（x）= lnx x + 1 2 ，g′（x）= 1-lnx x 2 ， 令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e ∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞） ∴g（x） max =g（e）= 1 e + 1 2 ＜1，∴g（x）＜1…（12分） ∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞ lnx x + 1 2 …（13分） ∴方程|x-lnx|= lnx x + 1 2 即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）