Question

如图，已知△ABC，以BC为直径，点O为圆心的半圆交AC于点F．点E为CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△BAC的

如图，已知△ABC，以BC为直径，点O为圆心的半圆交AC于点F．点E为CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△BAC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．（1）求证：△CME∽△BCE；（2）求证：AB是圆O的切线；（3）若AB=3，BC=4，求证：BE=2CE．

Answer 1

（1）证明：∵E为

CF

的中点，
∴∠6=∠7，
又∵∠BEC=∠CEM=90°
∴△CME∽△BCE；

（2）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
又∵E为

CF

的中点，
∴∠6=∠7，
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；

（3）解：∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=5
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME∽△BCE，
得

EC

EB

=

MC

BC

=

2

4

=

1

2

，
∴EB=2EC．