已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1?x...
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1?x)；（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
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（1）任取x1，x2∈[-1，1]且x1＜x2，则f(x2)?f(x1)＝f(x2)+f(?x1)＝
?(x2?x1)＞0
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数
∵f(x+
)＜f(1?x)
∴
∴0≤x＜
，
即不等式f(x+
)＜f(1?x)的解集为[0，
)．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t2-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t2-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴
∴
| f(x2)+f(?x1) |
| x2+(?x1) |
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数
∵f(x+
| 1 |
| 2 |
∴
|
∴0≤x＜
| 1 |
| 4 |
即不等式f(x+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t2-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t2-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴
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∴
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