Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1?x)；（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂，则f(x2)?f(x1)＝f(x2)+f(?x1)＝

f(x2)+f(?x1)

x2+(?x1)

?(x2?x1)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）为增函数
∵f(x+

1

2

)＜f(1?x)
∴

?1≤x+ 1 2 ≤1 ?1≤1?x≤1 x+ 1 2 ＜1?x

∴0≤x＜

1

4

，
即不等式f(x+

1

2

)＜f(1?x)的解集为[0，

1

4

)．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t²-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴

t2?2×(?1)×t≥0 t2?2×1×t≥0

∴

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