设f(x)=ex(ax2+x+1).(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)x=1时,f(x)有极值,证明:当θ∈[
设f(x)=ex(ax2+x+1).(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)x=1时,f(x)有极值,证明:当θ∈[0,π2]时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<...
设f(x)=ex(ax2+x+1).(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)x=1时,f(x)有极值,证明:当θ∈[0,π2]时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.
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(Ⅰ)f′(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=ex[ax2+(2a+1)x+2]=aex(x+
)(x+2).
(i)当a=
时,f′(x)=
ex(x+2)2≥0恒成立,∴函数f(x)在R上单调递增.
(ii)当0<a<
时,则
>2,即?
<?2.
由f′(x)>0,解得x>?2或x<?
;当f′(x)<0时,解得?
<x<?2.
∴函数f(x)在区间(?∞,?
)和(-2,+∞)上单调递增;在(?
,?2)上单调递减.
(iii)当a>
时,则
<2,即?
>?2.
由f′(x)>0,解得x>?
或x<?2;由f′(x)<0,解得?2<x<?
.
∴函数f(x)在区间(-∞,-2)和(-
,+∞)上单调递增;在(?2,?
)上单调递减.
(Ⅱ)∵当x=1时,f(x)有极值,∴f′(1)=0.∴3ae(1+
)=0,解得a=-1.
∴f(x)=ex(-x2+x+1),f′(x)=-ex(x-1)(x+2).
令f′(x)>0,解得-2<x<1,∴f(x)在[-2,1]上单调递增,
∵sinθ,cosθ∈[0,1],∴|f(sinθ)-f(cosθ)|≤f(1)-f(0)=e-1<2.
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(i)当a=
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(ii)当0<a<
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由f′(x)>0,解得x>?2或x<?
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∴函数f(x)在区间(?∞,?
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(iii)当a>
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由f′(x)>0,解得x>?
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∴函数f(x)在区间(-∞,-2)和(-
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(Ⅱ)∵当x=1时,f(x)有极值,∴f′(1)=0.∴3ae(1+
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∴f(x)=ex(-x2+x+1),f′(x)=-ex(x-1)(x+2).
令f′(x)>0,解得-2<x<1,∴f(x)在[-2,1]上单调递增,
∵sinθ,cosθ∈[0,1],∴|f(sinθ)-f(cosθ)|≤f(1)-f(0)=e-1<2.
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