设f(x)=ex(ax2+x+1).(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)x=1时,f(x)有极值,证明:当θ∈[

设f(x)=ex(ax2+x+1).(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)x=1时,f(x)有极值,证明:当θ∈[0,π2]时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<... 设f(x)=ex(ax2+x+1).(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)x=1时,f(x)有极值,证明:当θ∈[0,π2]时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2. 展开
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阿淼214
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(Ⅰ)f′(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=ex[ax2+(2a+1)x+2]=aex(x+
1
a
)(x+2)

(i)当a=
1
2
时,f(x)=
1
2
ex(x+2)2≥0
恒成立,∴函数f(x)在R上单调递增.
(ii)当0<a<
1
2
时,则
1
a
>2
,即?
1
a
<?2

由f′(x)>0,解得x>?2或x<?
1
a
;当f′(x)<0时,解得?
1
a
<x<?2

∴函数f(x)在区间(?∞,?
1
a
)
和(-2,+∞)上单调递增;在(?
1
a
,?2)
上单调递减.
(iii)当a>
1
2
时,则
1
a
<2
,即?
1
a
>?2

由f′(x)>0,解得x>?
1
a
或x<?2
;由f′(x)<0,解得?2<x<?
1
a

∴函数f(x)在区间(-∞,-2)和(-
1
a
,+∞)上单调递增;在(?2,?
1
a
)
上单调递减.
(Ⅱ)∵当x=1时,f(x)有极值,∴f′(1)=0.∴3ae(1+
1
a
)=0
,解得a=-1.
∴f(x)=ex(-x2+x+1),f′(x)=-ex(x-1)(x+2).
令f′(x)>0,解得-2<x<1,∴f(x)在[-2,1]上单调递增,
∵sinθ,cosθ∈[0,1],∴|f(sinθ)-f(cosθ)|≤f(1)-f(0)=e-1<2.
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