Question

设f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[

设f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，π2]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=aex(x+

1

a

)(x+2)．
（i）当a＝

1

2

时，f′(x)＝

1

2

ex(x+2)2≥0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．
（ii）当0＜a＜

1

2

时，则

1

a

＞2，即?

1

a

＜?2．
由f′（x）＞0，解得x＞?2或x＜?

1

a

；当f′（x）＜0时，解得?

1

a

＜x＜?2．
∴函数f（x）在区间(?∞，?

1

a

)和（-2，+∞）上单调递增；在(?

1

a

，?2)上单调递减．
（iii）当a＞

1

2

时，则

1

a

＜2，即?

1

a

＞?2．
由f′（x）＞0，解得x＞?

1

a

或x＜?2；由f′（x）＜0，解得?2＜x＜?

1

a

．
∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递增；在(?2，?

1

a

)上单调递减．
（Ⅱ）∵当x=1时，f（x）有极值，∴f′（1）=0．∴3ae(1+

1

a

)＝0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=-e^x（x-1）（x+2）．
令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．