Question

已知函数f（x）=lnx+12ax2-（a+1）x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方

已知函数f（x）=lnx+12ax2-（a+1）x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=lnx+

1

2

x2-2x，f′（x）=

1

x

+x-2．
∵f′（1）=0，f（1）=-

3

2

．
∴切线方程是y=-

3

2

．
（2）函数f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x（a∈R）的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=

1

x

+ax?(a+1)=

ax2?(a+1)x+1

x

=

(x?1)(ax?1)

x

．
令f′（x）=0，解得x=1或x=

1

a

．
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-

1

2

a?1=-2，解得a=2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)，∴-lna-

1

2a

-1=-2，即lna+

1

2a

=1．
令h（a）=lna+

1

2a

，h′(a)＝

1

a

?

1

2a2

=

2a?1

2a2

＝0，可得a∈(

1

e

，

1

2

)函数h（a）单调递减，a∈(

1

2

，1)函数h（a）单调递增．
而h(

1

e

)＝?1+

e

2

＜1，不合题意．
当

1

a

≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+

1

2

ae2-（a+1）e=-2，解得a＝

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