Question

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a?2x+a），若

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a?2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（-x），
∴log4(4x+1)+kx＝log4(4?x+1)?kx，化简得log4

4x+1

4?x+1

＝?2kx，
即x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝?

1

2

．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x+1)?

1

2

x＝log4(a?2x+a)有且只有一个实根，
化简得：方程2x+

1

2x

＝a?2x+a有且只有一个实根，且a?2^x+a＞0成立，则a＞0．
令t=2^x＞0，则（a-1）t²+at-1=0有且只有一个正根，
设g（t）=（a-1）t²+at-1，注意到g（0）=-1＜0，
所以①当a=1时，有t=1，合题意；
②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=-1＜0，则需满足

? a 2(a?1) ＞0 △＝0

，
此时有a＝?2+2

2

；a＝?2?2

2

（舍去）．
③当a＞1时，又g（0）=-1，方程恒有一个正根与一个负根．
综上可知，a的取值范围是{?2+2

2

}∪[1，+∞）．