Question

关于多重积分的一个问题

在百度百科上看到一句话“因为不可能计算多于一个变量的函数的不定积分，不定多重积分是不存在的。因此所有多重积分都是定积分。”
请问这是为什么，请解释一下。（如有关于此链接亦可）

Answer 1

新年好！Happy Chinese New Year !

楼主引用的的这段话：
“因为不可能计算多于一个变量的函数的不定积分，不定多重积分是不存在的。因此所有多重积分都是定积分。”

这句话的整体思想是对的，只是语言表达不到位。

1、一重积分，有定积分跟不定积分之分。
不定积分，首先是积分区域的不定，这表现在变限积分上，这类积分没有积分常数；
其次表现在根本没有积分区间，这类积分有一个积分常数的出现。

2、到了二重积分、三重积分，多重积分，是在一个区域上积分，或在一个空间内积分。
这个积分是重积分，是double integral、triple integral、、、、几百年的数学家们
已经建立了完善的理论，可以将这种原则性的重积分化成先对某一坐标积分，再对
其他坐标积分，这样的积分是 iterated integral。

3、对于累次积分，必须是先对第一个积分变量积分完毕之后才能交付到第二变量的积分，

这样一来，就完全没有了在一重积分中有积分常数的情况出现。在这样的意义上来说，
楼主引用的话是对的。但是并没有能排除在一重积分后出现的积分结果仍然是一个函
数的情况。

也就是说，平常所理解的定积分的结果没有积分常数，不定积分的结果有积分常数，
在这个意义上，楼主引用的话是对的。

平常所说的定积分的结果是一个值，不定积分的结果是一个函数族。在这层意义上，
楼主所引用的话就不妥当了，因为重积分的结果依然可以是一个多元函数族。

追问

那如果重积分的结果是个多元函数族，为什么不能像不定积分那样加个常数C呢？还是有点不理解

追答

问得好！
1、对于一重积分的变限情况，即分的结果，只是函数，而没有积分常数。
这点是毋庸置疑的吧？
2、多重积分，积分必须有一个区间，这个区间可以是x的函数，也可以是y的函数。
如果没有这区间，就会出现两个问题：
第一个问题是：不知道怎么累次积分，也就是不知道先对谁积分，后对谁积分。
多重积分不同于一重积分，一重积分中，不定积分无法解答的
问题，有了积分区间就可能积出来，如正态分布函数。而多重
积分，没有了积分区间，将无法化double integral 为 iterated
integral，后面所有的积分将嘎然而止。
第二个问题是：积分后必须有一个上下限的交接。若没有上下限的交接，任何
重积分都变得一片虚无，都是在无穷无尽的区域内积分。而实
际的重积分，都有对应物理含义。第一个变量积分完毕之后，
没有一个具体边界确定第一次积分的结果，对第二个变量来说，
积分将无法进行，因为第一个变量的上下限不定，对第二个变
量来说，就是被积函数的不定。在被积函数integrand都不确定
的情况下，所有的后续积分，将无疾而终。
明白了吗？
很好，有思想的学生凤毛麟角！
囫囵吞枣、死记硬背、照单全收的学生比比皆是。

有思想、敢质疑，最为难能可贵！加油！

若有疑问，请继续追问；
若满意，请采纳。
谢谢。