Question

关于定积分换元时的换限问题

这个是书上写的换元的定理，从里面可以看出来，是令x=g(t),但是注意到b＞a,β＞α，那意思就是这个定理必须针对的是所换的函数g(t)是一个连续的增函数才可以，但是我们平时做题的时候经常会碰到令x=1/t之类的情况，这个时候他的积分限怎么换我就有点搞不明白了。下面举两个例子。

这个是我做的一道题，第一种换元的时候对他的理解是，x取什么的时候t取什么，并且这个位置在积分限上是不做上下改变的，这样算出来的结果肯定是错的，因为原值至少应该是一个负值。下面那种是把x和t理解成一种函数关系，意思就是换元后的积分限的上下位置应该是按照值域来确定的，这种理解下的换元得到的结果是正确的-π/3
但是如果按照上面第二种理解再看下面这个题，也是一道书上的题

上面那种换元就是单纯的x取0的时候t取π/2,x取π/2的时候t取0，并且他们这个取值上的对应关系直接反映到他们积分限的关系上，意思就是当变量是t的时候0是上限，π/2是下限，这种是书上给出的正解。
但是如果按照刚才那道题得到正确结果的那种理解的话，这里的积分限应该不换的啊，这俩题放一块我就不明白了，到底换元的时候的积分限应该怎么换，求讲清楚！





Answer 1

追问

恩，这个我懂了，那换元的定理里面那个x=g(t)的单调性是怎么回事啊

追答

？。。。没注意这个？。。。有书没？。。。不知道书上具体怎么说的。。。