Question

如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点， 以OA为半径的⊙O经过点D。（1）求证： BC

如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点， 以OA为半径的⊙O经过点D。（1）求证： BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长。

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OD                  ∵ OA=OD，AD平分∠BAC。                   ∴ ∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD。                   ∴ ∠ODA=∠CAD。                    ∴ OD//AC。 ∴ ∠ODB=∠C=90 。                     ∴ BC是⊙O的切线。                  图1 （2）解法一：如图2，过D作DE⊥AB于E  ∴ ∠AED=∠C=90 。                 又∵ AD=AD，∠EAD=∠CAD                    ∴ △AED≌△ACD.                     ∴ AE=AC, DE=DC=3。                   在Rt△BED中，∠BED =90 。 ,由勾股定理，                     得                           设AC=x（x>0）, 则AE=x。                  在Rt△ABC中，∠C=90 。 , BC=BD+DC=8，AB=x+4,                由勾股定理，得 x 2 +8 2 = (x+4) 2 。                 解得x=6。即 AC=6。                  图2           解法二：如图3，延长AC到E，使得AE=AB。              ∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD               ∴ △AED≌△ABD.               ∴ ED=BD=5。              在Rt△DCE中，∠DCE=90 。 , 由勾股定理，得               CE=              在Rt△ABC中，∠ACB=90 。 , BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得              AC 2 +BC 2 = AB 2 。               即 AC 2 +8 2 =(AC+4) 2 。解得 AC=6。                  图3