Question

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F 1 ，F 2 分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F 1 ，F 2 分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F 1 PF 2 = π 3 ，且△PF 1 F 2 的面积为2 3 ，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

Answer 1

设双曲线方程为： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1（a＞0，b＞0）， F 1 （-c，0），F 2 （c，0），P（x 0 ，y 0 ）． 在△PF 1 F 2 中，由余弦定理，得： |F 1 F 2 | 2 =|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 -2|PF 1 |?|PF 2 |?cos π 3 =（|PF 1 |-|PF 2 |） 2 +|PF 1 |?|PF 2 |． 即4c 2 =4a 2 +|PF 1 |?|PF 2 |． 又∵S △PF1F2 =2 3 ． ∴ 1 2 |PF 1 |?|PF 2 |?sin π 3 =2 3 ． ∴|PF 1 |?|PF 2 |=8．∴4c 2 =4a 2 +8，即b 2 =2． 又∵e= c a =2，∴a 2 = 2 3 ． ∴双曲线的方程为： 3 x 2 2 - y 2 2 =1．