已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b为常数且a≠0)在x=1处取得极值.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区

已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b为常数且a≠0)在x=1处取得极值.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)在闭区间[1,e](其中e为... 已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b为常数且a≠0)在x=1处取得极值.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)在闭区间[1,e](其中e为自然对数的底数)上的最大值为1,求实数a的值. 展开
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仉友杉q1
2014-11-10 · TA获得超过130个赞
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(I)因为f(x)=lnx+ax2+bx所以f′(x)=
1
x
+2ax+b,…(2分)
因为函数f(x)=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值
f′(1)=1+2a+b=0…(3分)
当a=1时,b=-3,f′(x)=
2x2?3x+1
x

f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
      x    (0,
1
2
       
1
2
   (
1
2
,1)
       1   (1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x)  极大值  极小值
…(5分)
所以f(x)的单调递增区间为(0,
1
2
),(1,+∞)
单调递减区间为(
1
2
,1)…(6分)
(II)因为f′(x)=
(2ax?1)(x?1)
x
令f′(x)=0,x1=1,x2=
1
2a
…(7分)
因为f(x)在 x=1处取得极值,所以x2=
1
2a
≠x1=1,
1
2a
<0时,f(x)在[1,e]上单调递减,
所以f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(1),
故f(1)=1,解得a=-2…(9分)
当a>0,x2=
1
2a
>0
1
2a
<1时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以最大值1在x=e处取得,
所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1,解得a=
1
e?2
…(11分)
当1≤
1
2a
<e时,f(x)在区间[1,
1
2a
]上单调递减,[
1
2a
,e]上单调递增,
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0
所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1,
解得a=
1
e?2
,与1<x2=
1
2a
<e矛盾…(12分)
当x2=
1
2a
≥e时,f(x)在区间在[1,e]单调递减,
所以最大值1可能在x=1处取得,而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0,矛盾
综上所述,a=
1
e?2
或a=-2.…(13分)
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