Question

已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角

已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．

Answer 1

证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内， 则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾， ∴AC、BD是异面直线． （2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH ∥ . 1 2 BD． 又F、G分别是BC、DC的三等分点， ∴FG ∥ . 2 3 BD．∴EH ∥ FG，且EH＜FG． ∴FE与GH相交． 设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内． 同理，O在平面ABC内． 从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．