对于三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0).定义:(1)f(x)的导数f′(x)(也叫f(x)一阶导数)
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义:(1)f(x)的导数f′(x)(也叫f(x)一阶导数)的导数,f″(x)为f(x)的二阶导数,若方程f″(...
对于三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0).定义:(1)f(x)的导数f′(x)(也叫f(x)一阶导数)的导数,f″(x)为f(x)的二阶导数,若方程f″(x)=0有实数解x 0 ,则称点(x 0 ,f(x 0 ) )为函数y=f(x)的“拐点”;定义:(2)设x 0 为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x 0 +x)+f(x 0 -x)=2f(x 0 )恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x 0 ,f(x 0 ))对称.(1)己知f(x)=x 3 -3x 2 +2x+2,求函数f(x)的“拐点”A的坐标;(2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称;(3)对于任意的三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0)写出一个有关“拐点”的结论(不必证明).
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(1)依题意,得:f′(x)=3x 2 -6x+2,∴f″(x)=6x-6. 由f″(x)=0,即 6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2, ∴f(x)=x 3 -3x 2 +2x+2的“拐点”坐标是(1,2). (2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2). 而f(1+x)+f(1-x)=(1+x) 3 -3(1+x) 2 +2(1+x)+2+(1-x) 3 -3(1-x) 2 +2(1-x)+2 =2+6x 2 -6-6x 2 +4+4=4=2f(1), 由定义(2)知:f(x)=x 3 -3x 2 +2x+2关于点(1,2)对称. (3)一般地,三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d (a≠0)的“拐点”是(-
(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数;都对.) |
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