Question

如图，B是线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆．CE与⊙O相交于G，CE的延长线

如图，B是线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆．CE与⊙O相交于G，CE的延长线与AD的延长线相交于F．（1）求证：△BCF∽△DEF；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）若DEBC＝12，求EGCG．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠BDE=60°，
∴BC∥DE，
∴∠BCF=∠DEF，
又∵∠F=∠F，
∴△BCF∽△DEF；

（2）连接OB，∵⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是等边三角形，
∴O也是△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠EBO=180°-（∠ABO+∠DBE）=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线；

（3）由（1）BC∥DE得：

DF

BF

＝

DE

BC

＝

1

2

，
所以DF=DB=DE，
所以∠F=∠DEF=∠BCE=30°，
连接OC、OG，与（2）同理得∠OCB=30°，
所以∠OCG=60°，
从而∠COG=60°，∠CBG=

1

2

COG=30°，
在△EBC中，∠BCE=30°，∠CBE=60°，∠CEB=90°，
tan60°=

CE

BE

=

3

，
所以CE＝

3

BE，
同理在△EBG中，∠EBG=60°-30°=30°，∠GEB=90°，
tan30°=

GE

BE

，
所以EG＝

3

3

BE，
所以CE=3EG，
从而

EG

CG

＝

1

2

．