Question

计算曲面积分I=? Σyzdzdx+2dxdy，其中Σ为上半球面z=4?x2?y2的上侧

计算曲面积分I=? Σyzdzdx+2dxdy，其中Σ为上半球面z=4?x2?y2的上侧．

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

补充曲面：∑1：z＝0 (x2+y2≤4)取下侧，则
I＝

∫∫

∑+∑1

yzdzdx+2dxdy?

∫∫

∑1

yzdzdx+2dxdy=I₁-I₂
其中I₁应用高斯公式，得
I1＝

∫∫∫

Ω

zdxdydz （Ω为∑+∑₁所围成的立体区域）
=

∫

1 0

zdz

∫∫

Dz

dydz （Dz：x2+y2≤4?z2）
=

7

4

π
而I₂由于∑₁在zox面的投影为0，在xoy面的投影为D：x²+y²≤4
∴I2＝2

∫∫

∑1

dxdy＝?2

∫∫

D

dxdy＝?8π
∴I＝

7

4

π+8π＝

39

4

π