Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an?2n，n为偶数，（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）当n≥2时，求a2n-

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an?2n，n为偶数，（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）当n≥2时，求a2n-2与a2n的关系式，并求数列{an}中偶数项的通项公式；（Ⅲ）求数列{an}前100项中所有奇数项的和．

Answer 1

（I）∵a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an?2n，n为偶数

，
∴令n=2得a2＝

3

2

，令n=3得a3＝?

5

2

（II）a_2n-2+1=a_2n-2-2（2n-2）即
a_2n-1=a_2n-2-2（2n-2）
a_2n-1+1=

1

2

a_2n-1+（2n-1）即a_2n=

1

2

a_2n-2-（2n-2）+（2n-1）
∴a_2n=

1

2

a_2n-2+1
∴a_2n-2=

1

2

（a_2n-2-2）
∴{a_2n-2}是以-

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列
∴a_2n=?(

1

2

)n+2
（Ⅲ）∵当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2，3，…，49）
∴叠加可得所有奇数项的和：1-2（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=(

1

2

)49-4802