Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，过C点作⊙O的切线CG交AB延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且AF

如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，过C点作⊙O的切线CG交AB延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且AF=FD．（1）求证：CG∥AD；（2）求证：E是OB的中点；（3）若AB=8，阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵CG是切线，
∴CG⊥CO，
∵OA=OD，AF=FD，
∴CF⊥AD，
∴CG∥AD；

（2）证明：连接AC，
∵AB⊥CD，
∴

AC

=

AD

，
∴AC=AD，
同理：AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
∴OE=

1

2

OC=

1

2

OB，
∴E是OB的中点；

（3）解：∵AB=8，
∴OC=4，OE=2，
在Rt△OCE中，CE²=OC²-OE²，
∴CE=2

3

，
∴S_△OCE=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_扇形BOC=

8π

3

，
∴S阴影＝

8π

3

?2

3

．