Question

已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（I）若a=-1时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）若a≤0，函

已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（I）若a=-1时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）若a≤0，函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

（I）若a=-1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

，
则切点为（1，1），切线的斜率为f′（1）=0，
故切线方程为y=1．
（II）当a=0时，f（x）=x在定义域（0，+∞）上没有零点，满足题意；
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）=1?

a

x

在定义域上的情况如下表：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

则f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
所以，当f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点．
综上所述，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点．