Question

数列{an}满足a1=2，an+1=pan+2n（n∈N*），其中p为常数．若实数p使得数列{an}为等差数列或等比数列，数列

数列{an}满足a1=2，an+1=pan+2n（n∈N*），其中p为常数．若实数p使得数列{an}为等差数列或等比数列，数列{an}的前n项和为Sn，则满足Sn＞2014的最小正整数n的值为______．

Answer 1

∵a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂=pa₁+2=2p+2，
a₃=pa₂+2²=p（2p+2）+4=2p²+2p+4；
①若数列{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃，即2（2p+2）=2+2p²+2p+4=2p²+2p+6，
整理得：p²-p+1=(p?

1

2

)2+

3

4

=0，此方程无实数解，故数列{a_n}不可能为等差数列；
②若数列{a_n}为等比数列，则a22=a₁?a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p+4），
解得：p=1．
∴a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a_n=a_n-1+2^n-1=a_n-2+2^n-2+2^n-1=…=2+2¹+2²+…+2^n-1=2+

2(1?2n?1)

1?2

=2ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2¹+2²+…+2ⁿ=

2(1?2n)

1?2

=2ⁿ⁺¹-2，
∵S₁₀=2¹¹-2=2048-2=2046＞2014，S₉=2¹⁰-2=1024-2=1022＜2014，
∴满足S_n＞2014的最小正整数n的值为10，
故答案为：10．