Question

设有线性方程组x1+3x2+x3＝03x1+2x2+3x3＝?1?x1+4x2+mx3＝k，问m，k为何值时，方程组有惟一解？有无穷多

设有线性方程组x1+3x2+x3＝03x1+2x2+3x3＝?1?x1+4x2+mx3＝k，问m，k为何值时，方程组有惟一解？有无穷多组解？有无穷多组解时，求出一般解．

Answer 1

记：线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为

.

A

，
则：

.

A

=

1 3 1 ? 0 3 2 3 ? ?1 ?1 4 m ? k

→

1 3 1 ? 0 0 ?7 0 ? ?1 0 7 m+1 ? k

→

1 3 1 ? 0 0 ?7 0 ? ?1 0 0 m+1 ? k?1

，
1）当m≠?1时，r(A)＝r(

.

A

)＝3，方程组有惟一解；
2）当m＝?1，k≠1时，r(A)≠r(

.

A

)，方程组无解；
3）当m＝?1，k＝1时，r(A)＝r(

.

A

)＝2＜3，方程组有无穷多解．
此时基础解系含解向量个数为：3-r（A）=1，
齐次方程组：

x1+3x2+x3＝0 7x2＝0

，所以：x₂=0．
令：x₃=1，得：x₁=-1，
从而基础解系解向量为：（-1，0，1）^T．
非齐次方程组：

x1+3x2+x3＝0 7x2＝1

，所以：x2＝

1

7

．
令 x₃=0，得：x1＝?

3

7

．
于是非齐次方程特解为：(?

3

7

，

1

7

，0)T．
此时方程的通解为：x＝

? 3 7 1 7 0

+k

?1 0 1

．