Question

已知数列{an}的前n项和sn满足an+3sn?sn-1=0（n≥2，n∈N*），a1=13，则nan的最小值为______

已知数列{an}的前n项和sn满足an+3sn?sn-1=0（n≥2，n∈N*），a1=13，则nan的最小值为______．

Answer 1

∵a_n+3s_n?s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
∴

1

Sn

?

1

Sn?1

＝3．
∴数列{

1

Sn

}是以

1

S1

＝3为首项，3为公差的等差数列．
∴

1

Sn

＝3+(n?1)×3，解得Sn＝

1

3n

．
n=1时也成立．
∴na_n=n（S_n-S_n-1）=n(

1

3n

?

1

3(n?1)

)=

1

3

?

n

3(n?1)

=?

1

3(n?1)

．
n≥2，?

1

3(n?1)

单调递增，其最小值为?

1

3

，而?

1

3

＜1×

1

3

，故na_n的最小值为?

1

3

．
故答案为?

1

3

．