Question

如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点

如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x．（1）CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度．（2）△PBC的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x的值；若不存在，请说明理由．（3）当x取何值时，△ABP和△CDP相似． （4）如图2，当以C为圆心，以CP为半径的圆与线段AB有公共点时，求x的值．

Answer 1

解：（1）CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴

AB

CD

＝

QB

QC

＝

1

2

∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8

（2）如图2，过点B作BF⊥PC，垂足为F．
∵∠BPC=∠BPA，BA⊥MN，
∴BF=BA=4．
∵CP≥CD，∴CP≥8，即CP最小值为8，
∴△PBC面积的最小值=

1

2

×8×4=16，
此时△BAP是等腰三角形，AP=AB=4，即x=4；

（3）当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=

BA

tan60°

=

4 3

3

，
即x=

4 3

3

，
如图3，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=

BA

tan300

=4

3

，
即x=4

3

，
所以当x=

4 3

3

或