Question

设f（x）=（1+x）（1+2x）…（1+nx）（其中，n∈N*且n≥2），其展开后含xr项的系数记作ar（r=0，1，2，…

设f（x）=（1+x）（1+2x）…（1+nx）（其中，n∈N*且n≥2），其展开后含xr项的系数记作ar（r=0，1，2，…，n）．（1）求a1（用含n的式子表示）；（2）求证：a2＝3n+24C3n+1．

Answer 1

（1）由题意从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，
∴a₁=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）由题意从函数的解析式的n个括号中，选两个含有x的项，余下的选常数，即可得到a₂，
∴a₂=1×2+1×3+…+1?n+2×3+2×4+…+2?n+…+（n-1）?n
=

(1+2+…+n)2?(12+22+…+n2)

2

=

1

2

[

n(n+1)

2

]2?

n(n+1)(2n+1)

12

=

n(n+1)

4

?

(n?1)(3n+2)

6

=

3n+2

4

C

3 n+1

∴a2＝

3n+2

4

C

3 n+1

．