Question

如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任一数值．静止

如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任一数值．静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m（不计重力），从靠近M板的P点经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，OC为磁场边界，它与N板的夹角为θ=60°，孔Q到板的下端O的距离为L．当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在OC边界上，求：（1）M、N两板间电压的最大值；（2）能打到OC边界上的粒子的最小动能．（3）建立如图所示坐标系，若某一个粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于D点（图中未标出），且OD的长度与该粒子在磁场中运动的轨迹半径相等，求该粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

解答：解：（1）M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，
所以圆心在C点，CH=QC=L，故半径R₁=L

又因qvB=m

v12

R1

qU_m=

1

2

mv12
所以U_m=

qB2L2

2m

（2）设轨迹与CD板相切于K点，半径为R₂，在△AKC中：
sin60°=

R2

L?R2

所以R₂=（2

3

-3）L
即KC长等于R₂=（2

3

-3）L
qv₂B=m

v 2 2

r   2

E_K=

1

2

mv₂²=

(21?12 3 )q1B2L2

2m

（3）如图所示，设粒子在磁场中运动的圆心为A，半径为R，运动轨迹与OC的交点为E，则
OG=EF=Rsinα，
EG=

EF

tan60°

，
GD=

EG

tanα

=

Rcosα

3

．
根据题意有OG+GD=R，即
Rsinα+

Rcosα

3

=R
解得：α=90°
（30°不合题意，舍去）
又粒子在磁场中的运动周期为：T=

2πm

Bq

                   
所以运动时间为：t=

90

360

T=

πm

2qB

                       

答：（1）两板间电压的最大值U_m为

qB2L2

2m

；
（2）动能为

(21?12 3 )q1B2L2

2m

；
（3）粒子在磁场中运动的时间t_m为

πm

2qB