Question

如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点．（1）试判断△CPQ的形状并说明理由．（2）如

如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点．（1）试判断△CPQ的形状并说明理由．（2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，△CPQ是等边三角形．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠C=60°，AC=BC，DC=EC，
∴AC-DC=BC-EC，即AD=BE．
∵P、Q分别为AD、BE的中点，
∴PD=EQ，
∴CD+DP=CE+EQ，即CP=CQ，
∴△CPQ是等边三角形；

（2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状不会改变．理由如下：
如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∵∠ACD=∠DCE-∠ACE，∠BCE=∠ACB-∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD与△BCE中，

AC＝BC ∠ACD＝∠BCE DC＝EC

，
∴△ACD≌△BCE （SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，即∠CAP=∠CBQ．
∵P是AD的中点，Q是BE的中点，
∴AP=

1

2

AD，BQ=

1

2

BE，
∴AP=BQ，
∴在△ACP与△BCQ中，
 

AC＝BC ∠CAP＝∠CBQ AP＝BQ

，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴PC=QC，∠BCQ=∠ACP，
∵∠BCQ+∠ACQ=∠ACB=60°，
∴∠ACP+∠ACQ=60°，
∴∠PCQ=60°，
∴△CPQ是等边三角形．