Question

在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，其前n项和为Tn，且b2+S2=11

在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，其前n项和为Tn，且b2+S2=11，2S3=9b3．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项；（2）问是否存在正整数m，n，r，使得Tn=am+r?bn成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则

q+3+3+d＝11 2(3+3+d+3+2d)＝9q2

…（2分）
解得d=3，q=2．   …（4分）
所以an＝3n，bn＝2n?1．    …（6分）
（2）因为Tn＝1+2+…+2n?1＝2n?1，…（7分）
所以有2ⁿ-1=3m+r?2^n-1．…（*）
若r≥2，则r?2^n-1＞2ⁿ-1，（*）不成立，所以r=1，m＝

2n?1?1

3

．…（9分）
若n为奇数，①当n=1时，m=0，不成立，…（10分）
②当n≥1时，设n=2t+1，t∈N^*，则m＝

2n?1?1

3

＝

22t?1

3

＝

4t?1

3

∈Z…（12分）
若n为偶数，设n=2t，t∈N^*，则m＝

2n?1?1

3

＝

22t?1?1

3

＝

2?4t?1?1

3

＝2?

4t?1?1

3

+

1

3

，
因为

4t?1?1

3

∈Z，所以m?Z．…（14分）
综上所述，只有当n为大于1的奇数时，r＝1，m＝

2n?1?1

3

．
当n为偶数时，不存在．   …（16分）