Question

选修4-5：不等式选讲定义min{a，b}= a，a≤b b，a＞b ，求函数f（x）=

选修4-5：不等式选讲定义min{a，b}= a，a≤b b，a＞b ，求函数f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x 2 +3x+3}的最大值．

Answer 1

根据绝对值的意义，可得|x-2|+|2x+1|= 3x-1    x≥2 x+3     - 1 2 ＜x＜2 -3x+1    x≤- 1 2 …（3分） ①当x≥2时-x 2 +3x+3-（3x-1）=-x 2 +4≤0成立，此时|x-2|+|2x+1|＞-x 2 +3x+3，∴f（x）=-x 2 +3x+3； ②当- 1 2 ＜x＜2时，-x 2 +3x+3-（x+3）=-x 2 +2x≤0在（- 1 2 ，0）成立，此时f（x）=-x 2 +3x+3． -x 2 +3x+3-（x+3）=-x 2 +2x≥0在[0，2）成立，此时f（x）=x+3； ③当x ≤- 1 2 时，-x 2 +3x+3-（-3x+1）=-x 2 +6x+2≤0在（-∞，- 1 2 ]成立，此时f（x）=-x 2 +3x+3； 所以f（x）= - x 2 +3x+3      x≤0 x+3        0＜x＜2 - x 2 +3x+3     x≥2 ，…（6分） 可得函数在（-∞，0），（0，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数 因此，当x≤0时，f（x）≤f（0）=3；当0＜x＜2时，f（x）＜f（2）=5；当x≥2时，f（x）≤f（2）=5． 综上所述，可得f（x）最大值为5． …（10分）