如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=43AD=8．（1）设M是PC上
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=43AD=8．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平...
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=43AD=8．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P-AD-M的大小为π3．
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解答：
（本小题满分12分）
解：（1）证明：因为BD=
AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=6，
所以有AD2+BD2=AB2，
即AD⊥BD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以PD⊥平面PAD，
BD?平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．
（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E，则有OE⊥AD，
所以分别以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系
所以点O（0，0，0），A（3，0，0），D（-3，0，0），B（-3，8，0），P（0，0，3
），
由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（-6，4，0），
设
＝λ（0＜λ＜1），则有M(?6λ，4λ，3
(1?λ))，因为由（1）的证明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：
＝(0，8，0)，设平面MAD的法向量为
＝(x，y，z)，则有
?
?x＝0，令y＝3
，则有z＝
，即有
＝(0，3
，
)
由由二面角P-AD-M的大小为
．
=
=
（本小题满分12分）解：（1）证明：因为BD=
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所以有AD2+BD2=AB2，
即AD⊥BD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以PD⊥平面PAD，
BD?平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．
（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E，则有OE⊥AD，
所以分别以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系
所以点O（0，0，0），A（3，0，0），D（-3，0，0），B（-3，8，0），P（0，0，3
| 3 |
由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（-6，4，0），
设
| PM |
| PC |
| 3 |
| n1 |
| n2 |
|
|
| 3 |
| 4λ |
| λ?1 |
| n2 |
| 3 |
| 4λ |
| λ?1 |
由由二面角P-AD-M的大小为
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||||
|
|
24
|
