Question

设a＞1，函数f（x）=x+a24x，g（x）=x-lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实

设a＞1，函数f（x）=x+a24x，g（x）=x-lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为[2e?2，+∞）[2e?2，+∞）．

Answer 1

当1≤x≤e时，g'（x）=1-

1

x

=

x?1

x

≥0，
∴g（x）是增函数，最大值为g（e）=e-1；
∵f'（x）=1-

a2

4x2

=

4x2?a2

4x2

=

(2x+a)(2x?a)

4x2

，
∴①当1＜a＜2时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，最小值为f（1）=1+

a2

4

，
令 1+

a2

4

≥e-1，得2

e?2

≤a＜2；
②当2≤a≤e时，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（a）=

5a

4

，
令

5a

4

≥e-1，解得a≥

4

5

（e-1），取2≤a≤e；
③当a＞e时，f（x）在区间[1，e]上是减函数，最小值为f（e）=e+

a2

4e

，
令e+

a2

4e

≥=e-1，解得a²＞-e，取a＞e；
综上，实数a的取值范围是[2

e?2

，+∞）．
故答案为：[2

e?2

，+∞）．