Question

救命！高等数学二重积分问题，如图，两个问题。1.r的图像怎么画？2.为何这个角度表达式换了区间就变

救命！高等数学二重积分问题，如图，两个问题。1.r的图像怎么画？2.为何这个角度表达式换了区间就变成这样？3.把角度表成关于r的表达式有何方法？跪求！已经被虐翻！

Answer 1

这个图形是双纽线，具体图形可以网上搜索，若有同济高流六版，参见上册附录2。

这里并不需要知道图形的具体形状，要想交换积分次序，把r-θ坐标系看作一种直角坐标系就是了（别再去管极坐标系。就相当于我把θ换成x，r换成y，你是不是就会做了呢？），按照直角坐标系下二重积分交换积分次序的做法得解。

任取r∈[0,1]作y轴垂线，与区域边界有两个交点，两个交点的r坐标左边是1/2arcsin(r^2)，右边是π/2-1/2arcsin(r^2)。

追问

追答

反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]，只有x∈[-π/2,π/2]时，才能由y=sinx得到x=arcsiny。

Answer 2

该题采用极坐标积分

追答

积分的上限应该就是到r的，因为存在一定函数关系表示成三角函数

追问

那r的图像怎么画？不同的西塔的表达式是怎么回事？

追答

图像跟相关的函数有关，不同的西塔对应实用的范围不同，相关参数在变，范围就要跟着变

追问

那么r^2=cos2西塔的图像是怎样的？并不是一个圆啊？还有西塔在后半部分的区域为什么会变成那样？