Question

已知关于 x 的一元二次方程mx 2 －(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（

已知关于 x 的一元二次方程mx 2 －(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1 、x 2 (x 1 ＜x 2 ),若y是关于m的函数，且y=x 2 －2x 1 ，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图像回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m.

Answer 1

（1）证明见解析（2）y= （3）m≥1

（1）证明：∵a=m,b=-(3m+2),c=2m+2 ∴ Δ=【－(3m+2)】 2 －4m(2m＋2) =9m 2 +12m+4－8m 2 －8m =m 2 +4m+4 =(m+2) 2 又∵m>0 ∴Δ=(m+2) 2 >0 ∴ 此方程有两个不相等的实数根 （2）先由公式法可求得x=1或x= ∵x 1 <x 2 ∴x 1 =1,x 2 = ∴y=x 2 -2x 1 = －2= (m > 0) （3）在同一直角坐标系中分别画出函数y= (m>0)和y 1 =2m的图像，由图像可得当m≥1时，y≤2m.图略. 本题考查了一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b 2 -4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法，m＞0是一个重要的条件．