Question

一直线过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．（1）求证：∠ACB

一直线过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．（1）求证：∠ACB不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

设 A( x 1 ， y 1 )，B( x 2 ， y 2 )，C(- p 2 ，m) ， 直线AB方程为 x=ty+ p 2 由 x=ty+ p 2 y 2 =2px ，得：y 2 -2pty-p 2 =0， 则 y 1 + y 2 =2pt， y 1 y 2 =- p 2 ∴ x 1 + x 2 =2p t 2 +p， x 1 x 2 = p 2 4 ． CA =( x 1 + p 2 ， y 1 -m) ， CB =( x 2 + p 2 ， y 2 -m) ∴ CA ? CB =(pt-m ) 2 ≥0 ∴ ＜ CA ， CB ＞ 不可能为钝角， 故∠ACB不可能是钝角 （2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形 由（1）得：线段AB的中点为 M(p t 2 + p 2 ，pt) ①若直线AB的斜率不存在，这时t=0， A( p 2 ，p)，B( p 2 ，-p) ， 点C的坐标只可能是 ( p 2 ，-p) ，由 |CM|= 3 2 |AB| ， 得： p= 3 2 ?2p ，矛盾，于是直线AB的斜率必存在． ②由CM⊥AB，得：k CM ?k AB =-1， 即 pt-m p t 2 + p 2 + p 2 ? 1 t =-1 ， ∴m=pt 3 +2pt， ∴ C(- p 2 ，p t 3 +2pt) |CM|=p( t 2 +1) t 2 +1 ，|AB|=2p（t 2 +1）， 由 |CM|= 3 2 |AB| ，得： t=± 2 ， ∴ C(- p 2 ，±4 2 p) 故存在点 C(- p 2 ，±4 2 p) ，使得△ABC为正三角形．