Question

已知函数 f(x)=kx，g(x)= lnx x ．（Ⅰ）求函数 g(x)= lnx x 的单调区间；（Ⅱ）若

已知函数 f(x)=kx，g(x)= lnx x ．（Ⅰ）求函数 g(x)= lnx x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（本题满分12分） （Ⅰ）∵g（x）= lnx x ，x＞0，故其定义域为（0，+∞） ∴ g ′ (x)= 1-lnx x 2 ， 令g′（x）＞0，得0＜x＜e 令g′（x）＜0，得x＞e 故函数 g(x)= lnx x 的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）． （Ⅱ）∵ x＞0，kx≥ lnx x ，∴k ≥ lnx x 2 ， 令 h(x)= lnx x 2 x= e 又 h ′ (x)= 1-2lnx x 3 ， 令h′（x）=0，解得 x= e ， 当x在（0，+∞）内变化时，h′（x），h（x）变化如下表 x (0， e ) e ( e ，+∞) h′（x） + 0 - h（x） ↗ 1 2e ↘ 由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为 1 2e 所以 k≥ 1 2e ．