Question

已知双曲线与椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 共焦点，它们的离心率之和为 14

已知双曲线与椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 共焦点，它们的离心率之和为 14 5 （1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的方程，写出渐近线方程和顶点坐标．

Answer 1

（1）∵ c= 25-9 =4 ，∴椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 的焦点为（±4，0），即双曲线的焦点为（±4，0）． （2）设要求的双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ，又椭圆与双曲线的离心率之和为 14 5 ， ∴ 4 5 + 4 a = 14 5 ，解得a=2，∴ b= 4 2 - 2 2 =2 3 ， ∴双曲线的方程为 x 2 4 - y 2 12 =1 ， 渐近线方程为 y=± 3 x ， 顶点坐标为（±2，0）．