Question

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满足y＝ 其对应曲线(如图所示)过点 . (1)试求药量峰值(y的最大值)与达峰时间(y取最大值时对应的x值)；(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药后一次能维持多长的有效时间(精确到0.01小时)?

Answer 1

（1）y取最大值时，对应的x值为1.（2）3.85小时

(1)由曲线过点 ，可得 ，故a＝8. 当0<x<1时，y＝ ＝4， 当x≥1时，设2 x －1 ＝t，可知t≥1， y＝ ≤ ＝4(当且仅当t＝1，即x＝1时，等号成立)． 综上可知y max ＝4，且当y取最大值时，对应的x值为1. 所以药量峰值为4微克，达峰时间为1小时． (2)当0<x<1时，由 ＝1，可得x 2 －8x＋1＝0， 解得x＝4± ，又4＋ >1，故x＝4－ . 当x≥1时，设2 x －1 ＝t，则t≥1， ＝1，可得 ＝1，解得t＝4± ， 又t≥1，故t＝4＋ ，所以2 x －1 ＝4＋ ，可得x＝log 2 (4＋ )＋1. 由图像知当y≥1时，对应的x的取值范围是[4－ ，log 2 (4＋ )＋1]， log 2 (4＋ )＋1－(4－ )≈3.85， 所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约3.85小时的有效时间．