Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC，（1）求证：OD

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC，（1）求证：OD∥平面PAB；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）M是线段PA上的动点，当二面角M-BO-D的大小为45°时，求|PM|：|MA|的值．

Answer 1

解：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，OA，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
设AB=a，则A（

2

2

a，0，0），B（0，

2

2

a，0），C（-

2

2

a，0，0），
设OP=h，则P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D为PC的中点，
∴

OD

=（?

2

4

a，0，

1

2

h）
又∵

PA

=（

2

2

a，0，h）．
∴