已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=2n+7-2an.(1)求证:{an-2}为等比数列;(2)是否存在实数k,使得a

已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=2n+7-2an.(1)求证:{an-2}为等比数列;(2)是否存在实数k,使得an≤n3+kn2+9n对于任意的n∈N*都成... 已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=2n+7-2an.(1)求证:{an-2}为等比数列;(2)是否存在实数k,使得an≤n3+kn2+9n对于任意的n∈N*都成立,若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,说明理由. 展开
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(1)n=1时,a1=S1=2+7-2a1,解得a1=3.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=2-2an+2an-1
即3an=2an-1+2,
an?2=
2
3
(an?1 ?2)

∴{an-2}是首项为1,公比为
2
3
的等比数列.
(2)由(1)知an?2=
2
3
)
n?1

an=2+(
2
3
)
n?1

由2+(
2
3
n-1≤n3+kn2+9n,
k≥
2
n2
+
(
2
3
)n?1
n2
?(n+
9
n
)

∴只需求出P(n)=
2
n2
+
(
2
3
) n?1
n2
?(n+
9
n
)
的最大值即可.
f(n)=
2
n2
g(n)= 
(
2
3
)n?1
n2 
h(n)=?(n+
9
n
)

∵n∈N*,∴f(n)单调递减.
g(n)
g(n+1)
2
3
)n?1
n2
÷
(
2
3
)n
(n+1)2

=
3
2
(
n+1
n
)2>1

∴g(n)<g(n+1),
故g(n)单调递减.
h(n)?h(n+1)=(n+1+
9
n+1
) ?(n+
9
n
)
=
n2+n?9
n(n+1)

当n≥3时,h(n)>h(n+1),
故n≥3时,h(n)单调递减.
∴n≥3时,P(n)=
2
n2
+
(
2
3
) n?1
n2
?(n+
9
n
)
随着n的增大而减小,
∵p(1)=-7,p(2)=?
35
6
p(3)=? 
464
81

∴p(n)的最大值为p(3)=-
464
81

故k≥?
464
81
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