Question

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x-a2+3a-1]ex（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在（2，3）上单调递增，求实数a

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x-a2+3a-1]ex（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在（2，3）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，设g（x）=f(x)ex+lnx-x，斜率为k的直线与曲线y=g（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）两点，证明：（x1+x2）k＞2．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=[2ax+（a-1）²]?e^x+[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]?e^x
=[ax²+（a²+1）x+a]?e^x，
当a≥0时，∵x∈（2，3），∴f'（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上单调递增，
当a＜0时，∵f（x）在（2，3）上单调递增，∴f'（x）=a（x+a）（x+

1

a

）?e^x≥0，
①当-1＜a＜0时，解得-a≤x≤-

1

a

，由题意知（2，3）?[-a，-

1

a

]，得?

1

3

≤a＜0，
②当a=-1时，f'（x）=-（x-1）²?e^x≤0，不合题意，舍去，
③当a＜-1时，解得?

1

a

≤x≤-a，则由题意知（2，3）?[-?

1

a

，-a]，得a≤-3，
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[-

1

3

，+∞）；
（Ⅱ）a=0时，g（x）=

f(x)

ex

+lnx-x=lnx-1，k=

lnx2?lnx1

x2?x1

，
∵x₂-x₁＞0，要证（x₂+x₁）k＞2，即证（x₁+x₂）

lnx2?lnx1

x2?x1

＞2，
即证ln

x2

x1

-

2( x2 x1 ?1)

x2 x1 +1

＞0（

x2

x1

＞1），
设h（x）=lnx-

2(x?1)

x+1

（x＞1），h'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x?1)2

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，
∴ln

x2

x1

-

2( x2 x1 ?1)

x2 x1 +1

＞0（

x2

x1

＞1）成立，
即（x₁+x₂）k＞2成立．