Question

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若Sn+an＞m对任意的正整数n恒成立，求常数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．
由题意，得

2(1+d)＝2+2q (2q)2＝(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．                  
∴a_n=3n-2，b_n=2?3^n-1；
（Ⅱ）∵S_n+a_n＞m对任意的正整数n恒成立，
∴3ⁿ+3n-3＞m对任意的正整数n恒成立，
令f（n）=3ⁿ+3n-3，则f（n+1）-f（n）=2?3ⁿ-3＞0，
∴f（n）单调递增，
∴m＜f（1）=3．