Question

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）的表达式

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）的表达式．

Answer 1

设f（x）=ax²+bx+c
由f（0）=1得c=1
∴f（x）=ax²+bx+1
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+（2a+b）x+a+b+1
∴f（x+1）-f（x）=ax²+（2a+b）x+a+b+1-ax²-bx-1=2ax+a+b
∵f（x+1）-f（x）=2x
∴2ax+a+b=2x
∴2a=2且a+b=0
∴a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1